Théorème de la division euclidienne

Théorème

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^\ast\) .
Il existe un unique couple d’entiers relatifs \((q;r)\) tel que \(a=bq+r\) et \(0 \leqslant r.

Définitions

L’égalité \(a=bq+r\) est appelée la division euclidienne de  \(a\) par \(b\) .
L’entier \(a\) est le dividende,  \(b\) est le diviseur,  \(q\) est le quotient et  \(r\) est le reste.

Remarque

D’un point de vue graphique, dans la division euclidienne de  \(a\) par  \(b\) :

Exemples

• La division euclidienne de  \(85\) par  \(3\) s’écrit : \(85=3 \times 28+1\) avec \(0 \leqslant 1<3\) . 
  C’est aussi la division euclidienne de  \(85\) par \(28\) , car \(0 \leqslant 1<28\) .
• La division euclidienne de  \(29\) par  \(10\) s’écrit : \(29=10 \times 2+9\) avec \(0 \leqslant 9<10\) .
  En revanche, ce n’est pas la division euclidienne de  \(29\) par \(2\) , car \(9>2\) . Cette seconde division euclidienne s’écrit : \(29=2 \times 14+1\) avec \(0 \leqslant 1<2\) .
  
• La division euclidienne de  \(12\) par  \(14\) s’écrit : \(12=14 \times 0+12\) avec \(0 \leqslant 12<14\) .
  
• La division euclidienne de  \(37\) par  \(4\) s’écrit : \(37=4 \times 9+1\) avec \(0 \leqslant 1<4\) .
  
• La division euclidienne de  \(-37\) par  \(4\) s’écrit : \(-37=4 \times (-10)+3\) avec \(0 \leqslant 3<4\) .